Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{y} (4 - 3 y - 2 y^{2}) d y$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = 4 - 3 y - 2 y^{2}$ dan $d v = \sqrt{y}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y - 3) d y$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y) + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Langkah 3.2

Susun kembali $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $- 4$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Langkah 3.3

Susun kembali $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $- 3$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.5

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $y$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}} y}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 (y^{\frac{3}{2}} y^{1})}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.9

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.11

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 3.12

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Langkah 3.13

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Langkah 4.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d y$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d y$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 y^{\frac{3}{2}}}{1} d y$

Langkah 4.3.4

Bagilah $- 2 y^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{3}{2}} d y$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \int \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 7

Karena $\frac{8}{3}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{8}{3}$ keluar dari integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- (\frac{8}{3} \int y^{\frac{5}{2}} d y) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{\frac{5}{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 10

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 \int y^{\frac{3}{2}} d y)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{\frac{3}{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{y^{\frac{7}{2}} \cdot - 4}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 \cdot y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.3

Kalikan $\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$ dengan $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{2 y^{\frac{7}{2}} \cdot 8}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.4

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.5

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 2 (2 y^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Langkah 12.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 12.3.9

Untuk menuliskan $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Langkah 12.3.10

Gabungkan $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Langkah 12.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Langkah 12.3.12

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16}{21} y^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}})) - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} y^{\frac{7}{2}} + C$