Kalkulus Contoh

$\int x^{2} e^{6 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{6 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{6 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{6} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{6} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 2 \int e^{6 x} (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Langkah 4.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 (1)}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 6 x$ . Kemudian $d u = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 6 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ sebagai $\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{6}$ dan $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x}{6} e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.4

Gabungkan $\frac{x}{6}$ dan $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{36}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Langkah 13.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot \frac{6}{6} + C$

Langkah 13.2.7

Gabungkan $- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Langkah 13.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Langkah 13.2.9

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 6 (\frac{1}{3}) (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.10

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 13.2.11.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{6 x}}{36}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 (- 1) \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Langkah 15.3.3

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Langkah 15.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Langkah 15.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - \frac{- e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Langkah 15.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - - \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Langkah 15.4.2

Kalikan $- - \frac{e^{6 x}}{18}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 1 \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Langkah 15.4.2.2

Kalikan $\frac{e^{6 x}}{18}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{6} (x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} x e^{6 x} + \frac{1}{18} e^{6 x}) + C$