Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal e^(4x)+e^(-x)
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.2.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 2.2.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.2.2
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.5
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.3.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 2.3.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.3.2
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.3.5
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.3.6
Tulis kembali sebagai .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 3.2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 3.2.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 3.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.6
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 3.2.7
Kalikan dengan .
Langkah 3.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 3.3.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 3.3.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 3.3.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.3.5
Kalikan dengan .
Langkah 3.3.6
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 3.3.7
Tulis kembali sebagai .
Langkah 3.3.8
Kalikan dengan .
Langkah 3.3.9
Kalikan dengan .
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 5.1.2.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 5.1.2.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 5.1.2.2
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.2.5
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 5.1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.3.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.3.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 5.1.3.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 5.1.3.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 5.1.3.2
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.3.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.3.5
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 5.1.3.6
Tulis kembali sebagai .
Langkah 5.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 6
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 6.2
Pindahkan ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.
Langkah 6.3
Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.
Langkah 6.4
Perluas sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.4.2
Perluas dengan memindahkan ke luar logaritma.
Langkah 6.4.3
Log alami dari adalah .
Langkah 6.4.4
Kalikan dengan .
Langkah 6.5
Perluas sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.1
Perluas dengan memindahkan ke luar logaritma.
Langkah 6.5.2
Log alami dari adalah .
Langkah 6.5.3
Kalikan dengan .
Langkah 6.6
Pindahkan semua suku yang mengandung ke sisi kiri dari persamaan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.6.1
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 6.6.2
Tambahkan dan .
Langkah 6.7
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 6.8
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.8.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.8.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.8.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.8.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.8.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.8.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.8.3.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 7
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 8
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 9
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 10
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 10.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 10.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.3.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 10.4
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 10.5
Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.
Langkah 10.6
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.6.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 10.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 10.7
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.7.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 10.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 10.7.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 10.8
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 10.9
Gabungkan dan .
Langkah 10.10
Tulis kembali sebagai .
Langkah 10.11
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 10.12
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.12.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.12.2
Kalikan dengan .
Langkah 10.13
Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.
Langkah 11
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 12
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Simplify to substitute in .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 12.1.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 12.2
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 12.3
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1.1
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 12.3.1.1.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 12.3.1.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 12.3.1.3
Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.
Langkah 12.3.1.4
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1.4.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 12.3.1.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 12.3.1.5
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1.5.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 12.3.1.5.2
Gabungkan dan .
Langkah 12.3.1.5.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 12.3.1.6
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 12.3.1.7
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.3.1.7.1
Kalikan dengan .
Langkah 12.3.1.7.2
Kalikan dengan .
Langkah 12.3.1.8
Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.
Langkah 12.3.2
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 13
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
Langkah 14