Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$0 + e^{x}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$e^{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

$u_{upper} = 1 + e$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + e$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{1 + e} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{1 + e}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $1 + e$ dan pada $2$ .

$\ln (| 1 + e |) - \ln (| 2 |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + e |}{| 2 |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

$1 + e$ mendekati $3.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{1 + e}{| 2 |})$

Langkah 5.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Bentuk Desimal:

$0.62011450 \dots$

Langkah 7