Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Kemudian $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Langkah 2

Faktorkan $4$ dari $9 + 4 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $4$ dari $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Langkah 2.2

Faktorkan $4$ dari $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Langkah 2.3

Faktorkan $4$ dari $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Langkah 4

Tulis kembali $\frac{9}{4}$ sebagai ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Langkah 6.1.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Langkah 6.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Langkah 6.1.4

Gabungkan $u$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Langkah 6.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Langkah 6.1.6

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Langkah 6.2

Tulis kembali $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ sebagai $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 6.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$