Kalkulus Contoh

$\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$

Langkah 1

Susun kembali $e^{4 x}$ dan $\cos (5 x)$ .

$\int \cos (5 x) e^{4 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (5 x)$ dan $d v = e^{4 x}$ .

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4} \cdot - 5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4} \cdot - 5$ keluar dari integral.

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $\cos (5 x)$ dan $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{4 x}$ dan $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int \sin (5 x) e^{4 x} d x)$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (5 x)$ dan $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x))$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4} \cdot 5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4} \cdot 5$ keluar dari integral.

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Langkah 7.2

Gabungkan $\sin (5 x)$ dan $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} \cdot \frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ dengan $\frac{- 5}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{4 \cdot 4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Langkah 7.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Langkah 7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + 1 (\frac{- 5}{4}) (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Langkah 7.6.3

Kalikan $\frac{- 5}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 5}{4} (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Langkah 7.7

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $\frac{- 5}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{5 \cdot - 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Langkah 7.8

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $5$ dengan $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Langkah 7.8.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $\sin (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5 \cdot (\sin (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Langkah 9.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Langkah 9.1.4

Kalikan $\frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Langkah 9.1.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{41}{16}$ .

$(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ sebagai $(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ .

$(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$