Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{4}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$a = 3 \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 3 \frac{1}{4^{0}}$

Langkah 4.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 3 \cdot 1$

Langkah 4.2.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$a = 3$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{3}{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{3}{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$3 (\frac{4}{3})$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{4}{3})$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4$