Kalkulus Contoh

$\int x \arctan ({(x)}^{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Gabungkan $\arctan (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \arctan (u_{1})$ dan $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Langkah 5

Gabungkan $u_{1}$ dan $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${u_{1}}^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$2 u_{1} + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $2 u_{1}$ dan $0$ .

$2 u_{1}$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

Langkah 11.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

Langkah 12.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\ln (| x^{4} + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $\arctan (x^{2}) x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\arctan (x^{2}) x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 12.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 12.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 12.6

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 12.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Langkah 12.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ .

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$