Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 6 x^{2} + 3$ . Kemudian $d u = 12 x d x$ sehingga $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 6 x^{2} + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $6 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $12 x$ dan $0$ .

$12 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 6 + 3$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$u_{lower} = 9$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $6$ dengan $49$ .

$u_{upper} = 294 + 3$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $294$ dan $3$ .

$u_{upper} = 297$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{12}$ .

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{12}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{12}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $297$ dan pada $9$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $297^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Langkah 6.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Langkah 6.2.6

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.7

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Langkah 6.2.8

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Langkah 6.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 54$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Langkah 6.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Langkah 6.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Langkah 6.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Langkah 6.2.9.2.4

Bagilah $- 18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Langkah 7.2

Gabungkan.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $6$ dari $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Langkah 7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Langkah 7.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $2$ dari $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $12 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.3

Kalikan $297^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.4

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.5.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Bentuk Desimal:

$282.85585100 \dots$

Langkah 9