Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x^{2} - 1$ . Kemudian $d u = 4 x d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x^{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$4 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $1$ dengan $50$ .

$u_{upper} = 49$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $49$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan $2$ dengan $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 6.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 6.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Langkah 6.2.10

Kurangi $2$ dengan $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Langkah 6.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $684$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Langkah 6.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Langkah 6.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Langkah 6.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Langkah 6.2.11.2.4

Bagilah $228$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Langkah 6.2.12

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $228$ .

$\frac{228}{4}$

Langkah 6.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $228$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.1

Faktorkan $4$ dari $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Langkah 6.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Langkah 6.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{57}{1}$

Langkah 6.2.13.2.4

Bagilah $57$ dengan $1$ .

$57$

Langkah 7