Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $e$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 5.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 5.1.3.4

Untuk menuliskan $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.1.3.5

Gabungkan $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.1.3.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Langkah 5.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Langkah 5.3.3

Bagilah $e$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Langkah 5.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Langkah 5.3.6

Kurangi $1$ dengan $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Bentuk Desimal:

$5.36184564 \dots$

Langkah 7