Kalkulus Contoh

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Langkah 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Langkah 1.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x - 1)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.4

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Langkah 1.1.7.5.2

Bagilah $(B) (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Langkah 1.1.7.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Langkah 1.1.7.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Langkah 1.1.8

Pindahkan $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = - 1 A + B$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 1.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = - 1 A + B$ dengan $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (- B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Langkah 1.3.3.2

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 1.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 1.3.3.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 1.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 1.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Langkah 1.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Langkah 1.5.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x + 1} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 2 + 1$

Langkah 5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Langkah 5.5

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 8.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Langkah 8.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Langkah 8.5

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\ln (| u_{1} |)$ pada $4$ dan pada $3$ .

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Langkah 10.2

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.3

Hilangkan tanda kurung.

$- \frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.2

Gabungkan $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 11.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Langkah 12.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Langkah 12.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Langkah 12.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Langkah 12.5

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.20273255 \dots$

Langkah 14