Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 5

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Langkah 12.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Langkah 12.4

Evaluasi $x$ pada $4$ dan pada $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.2.2.4

Bagilah $64$ dengan $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.4

Untuk menuliskan $64$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.5

Gabungkan $64$ dan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.7.1

Kalikan $64$ dengan $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.7.2

Kurangi $1$ dengan $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.9

Kalikan $4$ dengan $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.10

Hapus faktor persekutuan dari $1020$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.10.1

Faktorkan $4$ dari $1020$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.10.2.4

Bagilah $255$ dengan $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.11

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.14

Kurangi $1$ dengan $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.15

Hapus faktor persekutuan dari $63$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.15.1

Faktorkan $3$ dari $63$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.15.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.15.2.4

Bagilah $21$ dengan $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.16

Kalikan $- 2$ dengan $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.17

Kurangi $42$ dengan $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.18

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.19

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.19.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.19.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.19.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.19.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.19.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.20

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.21

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.22

Gabungkan $8$ dan $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.24

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.24.1

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.24.2

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Langkah 12.5.25

Gabungkan $3$ dan $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.26

Kalikan $3$ dengan $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.27

Untuk menuliskan $213$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.28

Gabungkan $213$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.29

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.30

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.30.1

Kalikan $213$ dengan $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.30.2

Tambahkan $426$ dan $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Langkah 12.5.31

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Langkah 12.5.32

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 12.5.33

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.5.34

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.5.35

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.35.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Langkah 12.5.35.2

Tambahkan $471$ dan $6$ .

$\frac{477}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{477}{2}$

Bentuk Desimal:

$238.5$

Bentuk Bilangan Campuran:

$238 \frac{1}{2}$

Langkah 14