Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = - 4 x$ . Kemudian $d u = - 4 d x$ sehingga $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = - 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 3.1.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Langkah 3.5

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 11

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 11.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 11.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 8$ dan pada $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Langkah 13.2

Evaluasi $- x^{- 1}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Langkah 13.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Langkah 13.3.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Langkah 13.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Langkah 13.3.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Langkah 13.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 13.3.7

Gabungkan $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 13.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 13.3.9

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.10

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 13.3.11.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Langkah 14.2

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Langkah 14.3

Tulis kembali $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ sebagai $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Langkah 14.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.49100991 \dots$

Langkah 16