Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 5.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 5.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ pada $π$ dan pada $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Langkah 10.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $2 π$ dan pada $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.2

Kalikan $0$ dengan $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.4

Tambahkan $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ dan $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.5

Untuk menuliskan $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 10.3.6

Gabungkan $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Langkah 10.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Langkah 10.3.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Langkah 10.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Langkah 10.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Langkah 10.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Langkah 10.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Langkah 11.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Langkah 11.3

Tambahkan $\sin (2 π)$ dan $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Langkah 11.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Langkah 11.5

Kalikan $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Langkah 11.6

Gabungkan.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Langkah 11.11

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Langkah 11.12

Faktorkan $- 1$ dari $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Langkah 11.13

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Langkah 11.14

Tulis kembali $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ sebagai $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Langkah 11.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Langkah 12.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Langkah 12.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Langkah 12.5

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Langkah 12.6

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Langkah 12.7

Hapus faktor persekutuan dari $2 π + 0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Langkah 12.7.2

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Langkah 12.7.3

Faktorkan $2$ dari $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Langkah 12.7.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Langkah 12.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.7.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π + 0}{2}$

Langkah 12.8

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{π}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 1.57079632 \dots$