Kalkulus Contoh

$\int_{0.3}^{1.1} x^{3} \cot (x^{4}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {0.3}^{2}$

Langkah 1.3

Naikkan $0.3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 0.09$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {1.1}^{2}$

Langkah 1.5

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 1.21$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0.09$

$u_{upper} = 1.21$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1}}{2} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $\cot ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1} \cot ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = {0.09}^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan $0.09$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 0.0081$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {1.21}^{2}$

Langkah 4.5

Naikkan $1.21$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 1.4641$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0.0081$

$u_{upper} = 1.4641$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Gabungkan $\cot (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 8

Integral dari $\cot (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |)]_{0.0081}^{1.4641}$

Langkah 9

Evaluasi $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ pada $1.4641$ dan pada $0.0081$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sin (1.4641) |) - \ln (| \sin (0.0081) |))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Bentuk Desimal:

$2.21460382 \dots$