Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 4.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 4.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Langkah 4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Langkah 4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ pada $π$ dan pada $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Langkah 9.2

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $3 π$ dan pada $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.2

Kalikan $0$ dengan $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.5

Tambahkan $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ dan $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Langkah 9.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 9.3.7

Gabungkan $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Langkah 9.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Langkah 9.3.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.10

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.11.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 9.3.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Langkah 10

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Langkah 11.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Langkah 11.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Langkah 11.4

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Langkah 11.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Langkah 11.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Langkah 11.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Langkah 11.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Langkah 11.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Langkah 11.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Langkah 11.11

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.11.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Langkah 11.11.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Langkah 11.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Langkah 11.13

Kurangi $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Langkah 11.14

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 11.15

Kalikan $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.15.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Langkah 11.15.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{2}{9}$

Bentuk Desimal:

$- 0.\overline{2}$