Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Kemudian $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ sehingga $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos (7 t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 7 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Langkah 1.1.3.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $7 t$ terhadap $t$ adalah $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Langkah 1.1.4

Kurangi $7 \sin (7 t)$ dengan $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Langkah 1.3.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Langkah 1.5.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Langkah 1.5.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Langkah 2.2

Gabungkan ${u_{2}}^{2}$ dan $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{7}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ pada $0$ dan pada $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 6.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Langkah 6.2.4

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Langkah 6.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Langkah 6.2.7

Kurangi $\frac{8}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Langkah 6.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Langkah 6.2.10

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Langkah 6.2.11

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$\frac{8}{21}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{21}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{380952}$