Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Langkah 1

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 4 u + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d u$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 4 u + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 u + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $4 u$ terhadap $u$ adalah $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $1$ terhadap $u$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $u$ di $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $u$ di $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 3

Gabungkan $\sqrt{u_{1}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.7.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.10

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.11

Gabungkan $18$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 7.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Langkah 7.2.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.13.1

Kalikan $18$ dengan $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Langkah 7.2.13.2

Kurangi $2$ dengan $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Langkah 7.2.14

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Langkah 7.2.15

Kalikan $3$ dengan $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Langkah 7.2.16

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{156}{12}$

Langkah 7.2.17

Hapus faktor persekutuan dari $156$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.17.1

Faktorkan $12$ dari $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Langkah 7.2.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.17.2.1

Faktorkan $12$ dari $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Langkah 7.2.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Langkah 7.2.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{13}{1}$

Langkah 7.2.17.2.4

Bagilah $13$ dengan $1$ .

$13$

Langkah 8