Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 4.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Langkah 4.5

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Langkah 6.2

Evaluasi $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.6

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.7

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1

Faktorkan $3$ dari $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2.4

Bagilah $16$ dengan $1$ .

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.9

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.11

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.13.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.15

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.17

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.18

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.18.1

Batalkan faktor persekutuan.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.18.2

Tulis kembali pernyataannya.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.19

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.20

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.21

Kalikan $2$ dengan $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.22

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Langkah 6.3.23

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Langkah 6.3.24

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Langkah 6.3.25

Kurangi $2$ dengan $64$ .

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Langkah 6.3.26

Kalikan $\frac{62}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.27

Kalikan $62$ dengan $2$ .

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.28

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$16 - \frac{124}{15}$

Langkah 6.3.29

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

Langkah 6.3.30

Gabungkan $16$ dan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

Langkah 6.3.31

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

Langkah 6.3.32

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.32.1

Kalikan $16$ dengan $15$ .

$\frac{240 - 124}{15}$

Langkah 6.3.32.2

Kurangi $124$ dengan $240$ .

$\frac{116}{15}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{116}{15}$

Bentuk Desimal:

$7.7\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$7 \frac{11}{15}$

Langkah 8