Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Langkah 1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Langkah 3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Langkah 4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Langkah 4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $\ln (2)$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Langkah 7.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- \ln (2)$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Langkah 7.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Langkah 7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Langkah 7.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Langkah 7.3.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Sederhanakan $- \ln (2)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Langkah 8.1.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Langkah 8.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Langkah 8.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Langkah 8.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Langkah 8.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Langkah 8.1.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Langkah 8.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Langkah 8.1.7

Kalikan $- - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Langkah 8.1.7.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Langkah 8.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Langkah 8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Langkah 8.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 8.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 8.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$

Langkah 10