Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{4} - 1$ . Kemudian $d u = 4 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{4} - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$4 x^{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 - 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 1$ dan $0$ adalah $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Langkah 7.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Langkah 7.4

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\ln (0)}{4}$

Langkah 8

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi