Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Langkah 2.5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Langkah 2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

Langkah 2.5.1.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 15 + 1$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$u_{upper} = 16$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 5.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $16$ dan pada $1$ .

$4 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.4

Evaluasi eksponennya.

$4 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 (8 - 2 \cdot 1)$

Langkah 7.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$4 (8 - 2)$

Langkah 7.2.8

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$4 \cdot 6$

Langkah 7.2.9

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$24$

Langkah 8