Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{21}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{21}}^{2} + 4$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali ${\sqrt{21}}^{2}$ sebagai $21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{21}$ sebagai $21^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Langkah 1.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Langkah 1.5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

Langkah 1.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 21^{\frac{2}{2}} + 4$

Langkah 1.5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 21^{1} + 4$

Langkah 1.5.1.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 21 + 4$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $21$ dan $4$ .

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{25} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{25}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $25$ dan pada $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 5 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.5

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.6

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 6.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 6.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2^{1})$

Langkah 6.2.9

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} (10 - 2 \cdot 2)$

Langkah 6.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (10 - 4)$

Langkah 6.2.11

Kurangi $4$ dengan $10$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Langkah 6.2.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\frac{6}{2}$

Langkah 6.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Langkah 6.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Langkah 6.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{1}$

Langkah 6.2.13.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7