Kalkulus Contoh

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Langkah 1

Biarkan

u = 3 t

$u = 3 t$ . Kemudian

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ sehingga

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

u = 3 t

$u = 3 t$ . Tentukan

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 1.1.2

Karena

3

$3$ konstan terhadap

t

$t$ , turunan dari

3 t

$3 t$ terhadap

t

$t$ adalah

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan

3

$3$ dengan

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk

t

$t$ di

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan

3

$3$ dengan

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk

t

$t$ di

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

$u_{lower}$ dan

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u$ ,

$d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan

$\sin (u)$ dan

$\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Langkah 3

Karena

$\frac{1}{3}$ konstan terhadap

$u$ , pindahkan

$\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari

$\sin (u)$ terhadap

$u$ adalah

$- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Langkah 5

Evaluasi

$- \cos (u)$ pada

$π$ dan pada

$0$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Langkah 6

Nilai eksak dari

$\cos (0)$ adalah

$1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Langkah 7.2

Nilai eksak dari

$\cos (0)$ adalah

$1$ .

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Langkah 7.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Langkah 7.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Langkah 7.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Langkah 7.6

Gabungkan

$\frac{1}{3}$ dan

$2$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$