Kalkulus Contoh

$\int x \csc^{2} (3 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \csc^{2} (3 x)$ .

$x (- \frac{1}{3} \cot (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cot (3 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cot (3 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x (- \frac{\cot (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cot (3 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cot (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cot (3 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cot (3 x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cot (3 x) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cot (3 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\cot (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cot (u)}{3} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cot (u) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cot (u) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cot (u) d u$

Langkah 9

Integral dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sin (u) |)$ .

$- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\ln (| \sin (u) |) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $- \frac{x \cot (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\ln (| \sin (u) |) + C)$ sebagai $- \frac{1}{3} x \cot (3 x) + \frac{1}{9} \ln (| \sin (u) |) + C$ .

$- \frac{1}{3} x \cot (3 x) + \frac{1}{9} \ln (| \sin (u) |) + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} \cot (3 x) + \frac{1}{9} \ln (| \sin (u) |) + C$

Langkah 10.2.2

Gabungkan $\cot (3 x)$ dan $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{\cot (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \ln (| \sin (u) |) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$- \frac{\cot (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \ln (| \sin (3 x) |) + C$

Langkah 12

Hilangkan tanda kurung.

$- \frac{1}{3} \cot (3 x) x + \frac{1}{9} \ln (| \sin (3 x) |) + C$