Kalkulus Contoh

\int x arccot (x) d x

$\int x arccot (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ dan

d v = x

$d v = x$ .

arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

x^{2}

$x^{2}$ .

arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan

arccot (x)

$arccot (x)$ dan

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Langkah 3

Karena

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

\frac{1}{2} \cdot - 1

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ keluar dari integral.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Langkah 4.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

Langkah 4.1.3

Gabungkan

x^{2}

$x^{2}$ dan

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 4.1.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 4.1.5

Kalikan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dengan

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Susun kembali

1

$1$ dan

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagilah

x^{2}

$x^{2}$ dengan

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai

0

$0$ .

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{2}

$x^{2}$

0 x

$0 x$

0

$0$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

x^{2}

$x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x^{2}

$x^{2}$ .

							$1$ $1$
	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0$ $0$	+	$1$ $1$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

x^{2} + 0 + 1

$x^{2} + 0 + 1$

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$ $1$
$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$1$ $1$		$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$0$ $0$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$0$ $0$	-	$1$ $1$
									-	$1$ $1$

Langkah 5.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 8

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

- 1

$- 1$ keluar dari integral.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Susun kembali

x^{2}

$x^{2}$ dan

1

$1$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 9.2

Tulis kembali

1

$1$ sebagai

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Langkah 10

Integral dari

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap

x

$x$ adalah

\arctan (x) + C

$\arctan (x) + C$ .

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C

$\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C$