Kalkulus Contoh

$\int t \ln (t + 1) d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (t + 1)$ dan $d v = t$ .

$\ln (t + 1) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$\ln (t + 1) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Langkah 2.2

Gabungkan $\ln (t + 1)$ dan $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t + 1} d t)$

Langkah 4

Gabungkan $t^{2}$ dan $\frac{1}{t + 1}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t + 1} d t$

Langkah 5

Bagilah $t^{2}$ dengan $t + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$t$

$1$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $t^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $t$ .

					$t$
	$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			+	$t^{2}$	+	$t$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $t^{2} + t$

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$

Langkah 5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Langkah 5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- t$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $t$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Langkah 5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					-	$t$	-	$1$

Langkah 5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- t - 1$

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$

Langkah 5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 5.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t - 1 + \frac{1}{t + 1} d t$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = t + 1$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = t + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 9.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \ln (| u |) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (t + 1)$ .

$\frac{\ln (t + 1)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Langkah 11.2.2

Gabungkan $\frac{\ln (t + 1)}{2}$ dan $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Langkah 11.2.3

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 11.2.4

Gabungkan $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 11.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 11.2.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 11.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.8

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.9.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 11.2.9.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t + 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| t + 1 |))}{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Untuk menuliskan $\ln (| t + 1 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Langkah 13.2

Gabungkan $\ln (| t + 1 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{\ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Langkah 13.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Langkah 13.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| t + 1 |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2})}{2} + C$

Langkah 13.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - - t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Langkah 13.6

Kalikan $- - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + 1 t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Langkah 13.6.2

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |))) + C$