Kalkulus Contoh

$\int x \arctan (7 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (7 x)$ dan $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\arctan (7 x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 6.2

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Langkah 7

Bagilah $x^{2}$ dengan $49 x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 7.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 7.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

Langkah 7.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

Langkah 7.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{49}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{49}$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

Langkah 12

Susun kembali $49 x^{2}$ dan $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

Langkah 13

Faktorkan $49$ dari $1 + 49 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $49$ dari $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

Langkah 13.2

Faktorkan $49$ dari $49 x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

Langkah 13.3

Faktorkan $49$ dari $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{49}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{49}$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $\frac{1}{49}$ dengan $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Langkah 15.2

Kalikan $49$ dengan $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Langkah 16

Tulis kembali $\frac{1}{49}$ sebagai ${(\frac{1}{7})}^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

Langkah 17

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Langkah 18.1.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Langkah 18.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

Langkah 18.1.4

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

Langkah 18.2

Sederhanakan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

Langkah 18.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 18.3.2

Gabungkan $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 18.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 18.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.6

Kalikan $- 2$ dengan $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 14$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 14$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.3.7.2.4

Bagilah $- 7$ dengan $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.2.1

Faktorkan $7$ dari $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4.2.2

Faktorkan $7$ dari $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Langkah 18.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Langkah 18.4.3.2

Faktorkan $7$ dari $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Langkah 18.4.3.3

Faktorkan $7$ dari $343$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Langkah 18.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Langkah 18.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Langkah 18.4.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Langkah 18.4.4.2

Kalikan $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Langkah 18.4.4.2.2

Kalikan $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ dengan $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Langkah 19

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$