Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.3

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 1.5.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 1.5.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Langkah 1.5.3.4

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Langkah 1.6

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2.4

Kalikan $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Langkah 1.7.2.5

Pindahkan $e^{- 1}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Langkah 1.7.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{e}$ dan titik yang diberikan $(1, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Langkah 2.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Langkah 3