Kalkulus Contoh

$\int t \sin^{2} (t) d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = \sin^{2} (t)$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Langkah 5

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- \frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 8.2

Gabungkan $\sin (2 t)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 9

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Langkah 10.1.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Langkah 10.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Gabungkan $\frac{\sin (2 t)}{4}$ dan $t$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 10.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 10.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 10.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Langkah 10.3.5

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Langkah 10.3.6

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $\cos (u)$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Langkah 10.3.7

Untuk menuliskan $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 10.3.8

Gabungkan $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 10.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 10.3.10

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Langkah 12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Langkah 12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Langkah 12.3.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Langkah 12.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Langkah 12.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (2 t) t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13.2

Faktorkan $- 1$ dari $- t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13.4

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Langkah 13.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Langkah 13.6

Tulis kembali $- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ sebagai $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Langkah 13.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Langkah 13.9

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$