Kalkulus Contoh

$\int t \sec^{2} (3 t) d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = \sec^{2} (3 t)$ .

$t (\frac{1}{3} \tan (3 t)) - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\tan (3 t)$ .

$t \frac{\tan (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Langkah 2.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{\tan (3 t)}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \tan (3 t) d t)$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 t$ . Kemudian $d u = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 4.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\tan (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\tan (u)}{3} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \tan (u) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \tan (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Langkah 9

Tulis kembali $\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ sebagai $\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (u) |) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t$ .

$\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (3 t) |) + C$