Kalkulus Contoh

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sin (π x)$ . Kemudian $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (π x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\cos (π x) π$

Langkah 1.1.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{1}{π}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$