Kalkulus Contoh

$\int \arcsin (3 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arcsin (3 x)$ dan $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Langkah 2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

Langkah 4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 - 9 x^{2}$ . Kemudian $d u = - 18 x d x$ sehingga $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 - 9 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 9 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$0 - 18 x$

Langkah 5.1.4

Kurangi $18 x$ dengan $0$ .

$- 18 x$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Langkah 6.3

Pindahkan $18$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 8

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{18}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{18}$ keluar dari integral.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan $\frac{1}{18}$ dan $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 10.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 10.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 10.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 10.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 10.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 10.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 10.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 10.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 10.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 12

Tulis kembali $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$