Kalkulus Contoh

$\int arccsc (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = arccsc (x)$ dan $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ dengan $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Langkah 5

Biarkan $x = \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positif.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 6.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $\tan (t)$ dari $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Langkah 7

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$