Kalkulus Contoh

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Langkah 1.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $2$ keluar dari eksponen.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Langkah 1.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Langkah 1.5.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.1.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.1.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Langkah 4.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Bentuk Desimal:

$0.82842712 \dots$