Kalkulus Contoh

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Langkah 1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

Langkah 3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $π$ .

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 7.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Langkah 7.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 8

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Langkah 10

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $x$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $2 π$ dan pada $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Langkah 11.3

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Langkah 12.3

Tambahkan $\sin (2 π)$ dan $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Langkah 12.4

Gabungkan $\sin (2 π)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Langkah 13.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

Langkah 13.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{π}{2} (π - 0)$

Langkah 13.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π}{2} (π + 0)$

Langkah 13.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{π}{2} π$

Langkah 13.5

Kalikan $\frac{π}{2} π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $π$ .

$\frac{π π}{2}$

Langkah 13.5.2

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π^{1} π}{2}$

Langkah 13.5.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

Langkah 13.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

Langkah 13.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π^{2}}{2}$

Bentuk Desimal:

$4.93480220 \dots$