Kalkulus Contoh

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Langkah 1

Biarkan $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ sebagai $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Tulis kembali $4 t^{2}$ sebagai ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Langkah 1.1.2.1.4

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 2 t$ dan $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Langkah 1.1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.7

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $4$ dengan $4^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $4^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.3.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $64$ dan $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $80$ dan $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Langkah 1.3.6

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Langkah 1.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{lower} = 9$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $4$ dengan $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Langkah 1.5.3

Kalikan $4$ dengan $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Langkah 1.5.4

Tambahkan $196$ dan $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Langkah 1.5.5

Tambahkan $224$ dan $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Langkah 1.5.6

Tulis kembali $225$ sebagai $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Langkah 1.5.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{upper} = 15$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u^{2}$ pada $15$ dan pada $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $15$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Langkah 5.2.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Langkah 5.2.4

Kalikan $81$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Langkah 5.2.5

Gabungkan $- 81$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Langkah 5.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Langkah 5.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Langkah 5.2.8

Kurangi $81$ dengan $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Langkah 5.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $144$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.1

Faktorkan $2$ dari $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Langkah 5.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Langkah 5.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Langkah 5.2.9.2.4

Bagilah $72$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Langkah 5.2.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $72$ .

$\frac{72}{2}$

Langkah 5.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $72$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Langkah 5.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Langkah 5.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{36}{1}$

Langkah 5.2.11.2.4

Bagilah $36$ dengan $1$ .

$36$

Langkah 6