Kalkulus Contoh

$\int_{- 3}^{0} 1 + \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 3}^{0} d x + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Langkah 2

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 4.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 4.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{- 3}^{0} + 9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 11.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 11.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Langkah 11.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 11.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

Langkah 11.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $x$ pada $0$ dan pada $- 3$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Langkah 15.2

Evaluasi $t$ pada $0$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Langkah 15.3

Evaluasi $\sin (u)$ pada $0$ dan pada $- π$ .

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

Langkah 15.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

Langkah 15.4.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{2}$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Langkah 16.2

Kurangi $\sin (- π)$ dengan $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- π)))$

Langkah 16.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (- π)$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Langkah 17.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 17.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Langkah 17.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Langkah 17.4

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$3 + \frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 17.5

Kalikan $\frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$3 + \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 17.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 + \frac{9 π}{4}$

Langkah 18

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$3 + \frac{9 π}{4}$

Bentuk Desimal:

$10.06858347 \dots$

Langkah 19