Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arcsin (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\arcsin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3.2.3

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.6

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ pada $\frac{π}{6}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 4.2.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Langkah 4.2.3

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Langkah 4.2.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Langkah 4.2.6

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Langkah 5.2

Gabungkan.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Langkah 5.3

Kalikan $π^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Langkah 5.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Langkah 5.5

Kalikan $8$ dengan $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π^{2}}{288}$

Bentuk Desimal:

$0.03426945 \dots$