Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 4.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Langkah 4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Langkah 4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Langkah 4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $x$ pada $\frac{π}{12}$ dan pada $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Langkah 8.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{6}$ dan pada $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Langkah 8.3

Tambahkan $\frac{π}{12}$ dan $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Langkah 9.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Langkah 9.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Langkah 9.4

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 9.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.01179938 \dots$