Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Langkah 4

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 5

Evaluasi $\tan (u)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$2 (1 - 0)$

Langkah 6.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 (1 + 0)$

Langkah 6.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$