Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 + r^{2}$ . Kemudian $d u = 2 r d r$ sehingga $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 + r^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d r}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + r^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $4$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $4$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 r$ .

$2 r$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $r$ di $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $r$ di $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Langkah 1.5.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $4 + \frac{π^{2}}{4}$ dan pada $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ mendekati $6.4674011$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7.1.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7.1.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7.1.5

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Langkah 7.4

Kalikan $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $\frac{16 + π^{2}}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.24023999 \dots$

Langkah 9