Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Langkah 1

Biarkan $u = \sin (t)$ . Kemudian $d u = \cos (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Langkah 2

Biarkan $u = \tan (t_{1})$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Susun kembali suku-suku.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Langkah 3.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Langkah 3.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (t_{1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $\sec (t_{1})$ dari $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Langkah 4

Integral dari $\sec (t_{1})$ terhadap $t_{1}$ adalah $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Langkah 6.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Langkah 6.4

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Langkah 6.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 6.6

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.1.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Langkah 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ mendekati $2.41421356$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Langkah 7.3

Bagilah $\sqrt{2} + 1$ dengan $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Bentuk Desimal:

$0.88137358 \dots$