Kalkulus Contoh

$\int x^{4} e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{4}$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 x^{3}) d x$

Langkah 2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x$

Langkah 3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$x^{4} (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} x^{3} d x)$

Langkah 4

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} x^{3} d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - 3 e^{- x} x^{2} d x)$

Langkah 7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - (- 3 \int e^{- x} x^{2} d x))$

Langkah 8

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 \int e^{- x} x^{2} d x)$

Langkah 9

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x))$

Langkah 10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x))$

Langkah 11

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)))$

Langkah 12

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x))$

Langkah 13

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)))$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)))$

Langkah 15.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)))$

Langkah 16

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 16.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 16.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 16.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)))$

Langkah 17

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)))$

Langkah 18

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$

Langkah 19

Tulis kembali $x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$ sebagai $- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$

Langkah 20

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}))) + C$