Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \sin (5 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sin (5 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (5 x)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\cos (5 x)}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{5} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{5} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{1}{5} \cdot 2 \int \cos (5 x) (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- 2 (\frac{1}{5}) \int \cos (5 x) (x) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (\frac{- 2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + 1 (\frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Langkah 4.5

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} \sin (5 x)) - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $\sin (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x \frac{\sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (5 x)}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $\sin (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{\sin (5 x)}{5} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - (\frac{1}{5} \int \sin (5 x) d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 5 x$ . Kemudian $d u = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \sin (u) \frac{1}{5} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{\sin (u)}{5} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sin (u) d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int \sin (u) d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} \int \sin (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$ sebagai $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Untuk menuliskan $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ dan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Langkah 13.2.4

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.5

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{10}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.6.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 13.2.6.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{25})}{5} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 \frac{x \sin (5 x)}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x \sin (5 x)}{5}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{\cos (5 x)}{25}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.4

Untuk menuliskan $- x^{2} \cos (5 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} - x^{2} \cos (5 x) \cdot \frac{25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.5

Gabungkan $- x^{2} \cos (5 x)$ dan $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.7

Untuk menuliskan $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.8

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $25$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.8.1

Kalikan $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.8.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{25} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.10

Tulis kembali $\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.10.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.1.10.2

Kalikan $25$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Langkah 15.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5} + C$

Langkah 15.3

Kalikan $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25 \cdot 5} + C$

Langkah 15.3.2

Kalikan $25$ dengan $5$ .

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{125} + C$

Langkah 15.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{125} (10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)) + C$