Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sin (4 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (4 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{4} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{4} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Langkah 4.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ sebagai $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Langkah 15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Langkah 15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

Langkah 15.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Langkah 15.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Untuk menuliskan $- x^{2} \cos (4 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.2

Gabungkan $- x^{2} \cos (4 x)$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.4

Untuk menuliskan $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.5.1

Kalikan $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.7

Tulis kembali $\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.7.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.1.7.2

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 16.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Langkah 16.3

Kalikan $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Kalikan $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Langkah 16.3.2

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

Langkah 16.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$