Kalkulus Contoh

$\int x^{2} e^{11 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{11 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $e^{11 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{11} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{11} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \cdot 2 \int e^{11 x} (x) d x)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} \int e^{11 x} (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{e^{11 x}}{11} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{11}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{11}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \int e^{11 x} d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 11 x$ . Kemudian $d u = 11 d x$ sehingga $\frac{1}{11} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 11 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11 x$ terhadap $x$ adalah $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$11$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int e^{u} \frac{1}{11} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int \frac{e^{u}}{11} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{11}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{11}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} (\frac{1}{11} \int e^{u} d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{11}$ dengan $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11 \cdot 11} \int e^{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $11$ dengan $11$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} \int e^{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$ sebagai $\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{11} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{11}$ dan $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $\frac{1}{11}$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x}{11} e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.4

Gabungkan $\frac{x}{11}$ dan $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{121}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) + C$

Langkah 13.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot \frac{11}{11} + C$

Langkah 13.2.7

Gabungkan $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ dan $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} + \frac{- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Langkah 13.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Langkah 13.2.9

Kalikan $11$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 11 (\frac{2}{11}) (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.10

Gabungkan $- 11$ dan $\frac{2}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 11 \cdot 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.11

Kalikan $- 11$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 22}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 22$ dan $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.12.1

Faktorkan $11$ dari $- 22$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.12.2.1

Faktorkan $11$ dari $11$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 (1)} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 \cdot 1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 13.2.12.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $11 x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{11 x}}{121})}{11} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{11} (x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{11 x})) + C$