Kalkulus Contoh

$\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$

Langkah 1

Susun kembali $e^{8 x}$ dan $\sin (9 x)$ .

$\int \sin (9 x) e^{8 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (9 x)$ dan $d v = e^{8 x}$ .

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (9 \cos (9 x)) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{8} \cdot 9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8} \cdot 9$ keluar dari integral.

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $e^{8 x}$ .

$\sin (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $\sin (9 x)$ dan $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{8 x}$ dan $\cos (9 x)$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 x) e^{8 x} d x)$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (9 x)$ dan $d v = e^{8 x}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (- 9 \sin (9 x)) d x))$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{8} \cdot - 9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8} \cdot - 9$ keluar dari integral.

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $e^{8 x}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

Langkah 7.2

Gabungkan $\cos (9 x)$ dan $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $- 9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8}$ dengan $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

Langkah 7.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

Langkah 7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

Langkah 7.6.3

Kalikan $\frac{9}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

Langkah 7.7

Kalikan $\frac{- 9}{8}$ dengan $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

Langkah 7.8

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $- 9$ dengan $9$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

Langkah 7.8.2

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $\cos (9 x) e^{8 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 x) e^{8 x})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Langkah 9.1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$ sebagai $(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $\sin (9 x)$ .

$(\frac{\sin (9 x)}{8} e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.3.2

Gabungkan $\frac{\sin (9 x)}{8}$ dan $e^{8 x}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $\cos (9 x)$ dan $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64} e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.3.4

Gabungkan $e^{8 x}$ dan $\frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.3.5

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $\cos (9 x)$ .

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Tulis kembali.

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.4.2.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $\cos (9 x)$ .

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cdot \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.4.2.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} \cdot 9 \cos (9 x)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Langkah 9.4.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $e^{8 x}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 x} \sin (9 x) - \frac{9}{64} e^{8 x} \cos (9 x)) \frac{64}{145} + C$