Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 2.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Langkah 3.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Langkah 3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Langkah 5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Langkah 6

Integral dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 7

Evaluasi $\ln (| \sin (u) |)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Langkah 8.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Langkah 8.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ mendekati $0.8660254$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Langkah 9.2

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Langkah 9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Langkah 9.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Bentuk Desimal:

$3.29583686 \dots$